Fonction de répartition gaussienne et fonctions annexes
par Charles Hubert
Fonction de répartition gaussienne
Pour calculer la probabilité qu'une variable aléatoire gaussienne soit située dans un intervalle, ou pour faire le calcul inverse, on doit utiliser la fonction de répartition de cette variable. La fonction de répartition d'une variable gaussienne normalisée X (moyenne = 0, écart-type = 1) est
En principe on peut exprimer cette fonction à partir de la fonction d'erreur
mais alors il faut introduire un coefficient sur la variable et un autre sur la
fonction. Pour éviter ces deux coefficients, on peut utiliser la fonction
d'erreur modifiée
Ces deux fonctions s'utilisent par les
instructions
La fonction Errm est très précise pour x voisin de 0 ; la fonction
Gaus est très précise pour x très négatif.
La fonction Gaus n'est pratiquement
utilisable que dans l'intervalle approximatif [‑37.519, 8.29] ;
en dehors de cet intervalle les valeurs qu'elle devrait fournir ne sont plus
représentables dans le format des nombres réels du PC :
On a donc créé la fonction
qui calcule le logarithme népérien de Gaus, ce qui permet d'élargir
l'intervalle précédent, si on sait se débrouiller avec ce logarithme :
Calculons
alors, si le PC avait une dynamique plus large, il trouverait pour Gaus(‑50)
Par ailleurs
Ces trois fonctions s'aident de la fonction d'erreur auxiliaire définie par
et
Ces quatre fonctions, non exprimables par un nombre fini d'opérations avec des fonctions usuelles, sont calculées à partir de développements en séries limités à un nombre suffisant de termes.
Elles acceptent des tableaux gigognes ne contenant que des nombres (bien sûr) et les traitent à la manière des fonctions scalaires.
Les fonctions inverses
Ces fonctions inverses sont définies par
Chacune de ces trois fonctions est calculée en résolvant numériquement l'équation de définition (à droite ci-dessus) par la méthode d'approximations successives de Newton, en démarrant l'itération avec une valeur donnée par une formule approchée convenable.
Comme les fonctions directes elles acceptent
des tableaux gigognes ne contenant que des nombres (bien sûr) et les traitent à
la manière des fonctions scalaires. Exemples :
Les fonctions
Conçues pour APL*PLUS elles gèrent les
erreurs par pour
les utiliser avec un autre APL il faut peut-être réadapter les instructions
correspondantes.