CALENDRIERS "EQUIVALENTS"
par Bruno BOUMARD
ces pages peuvent être considérées comme une suite à son article *Fonctions Calendaires* paru dans notre revue n°9 (pages 42-44).
1.
ÇÈÊÍÓÍÝÍÔÓÛ
* 2 dates sont dites "équivalentes"
si elles ont mème jour, mème mois et mème jour de semaine. (Exemple:
Mardi 14-7-1789 et Mardi 14-7-1998)
* 2 années a et b sont dites
"équivalentes" (ou leurs calendriers sont dits
"équivalents") si a et b se composent de dates 2 à 2 "équivalentes",
ce qui suppose que a et b sont toutes 2
bissextiles (ou toutes 2 non
bissextiles). (Exemple: les années 1789 et 1998)
ÂÍÛÛÈðÝÍÐÍÝÈ
Une année (grégorienne) a est
bissextile si 4 divise a, sauf dans le cas ou simultanément
100 divise a et 400 ne divise pas a.
La fonction "bi" ayant pour
argument l'année a vaut 1 ou 0, selon que a est bissextile ou
non (voir, ci-dessous, le listing
évident de "bi").
3. ÓÂ Ç'ÁÓÓÈÈÛ ÚÈÙÞÍÛÈÛ ÕÔÞÚ
ÃÁÐÈÓÇÚÍÈÚ "ÈÙÞÍãÁÐÈÓÝ"
Selon que l'année a est
bissextile ou non, elle contient 366 ou 365
jours, soit: 2
mod 7 ou 1 mod 7
jours. Le 1er jour de l'année
a+1 sera donc décalé de 2 ou
1 jour de semaine.
Par suite, les années a
et a+k n'auront 1 calendrier "équivalent"
que si a et a+k ont mème bissextilité
et si le nb de jours décalés = 0
mod 7.
4.
ÊÔÓÃÝÍÔÓÛ ÃÔÓÃÈÚÓÁÓÝ ÐÈÛ
ÃÁÐÈÓÇÚÍÈÚÛ "ÈÙÞÍãÁÐÈÓÝÛ"
Nous donnerons ci-dessous, pour chaque
fonction, son listing commenté et un exemple d'application:
a) FONCTION
"ce"
Etant donnée l'année a, l'expression "ce a" ournit le nb
d'années après lequel sera obtenu le 1er calendrier "équivalent" au
calendrier de a.
b) FONCTION
"cf"
L'expression "cf a" fournit tous
les nb d'années (jusqu'à 2500) après
lesquels sont obtenus les calendriers "équivalents" au calendrier
de a.
c) FONCTION
"cg"
Cette fonction niladique donne les nb
d'années qu'il est possible d'attendre pour obtenir le 1er calendrier
"équivalent". Ces nombres ne peuvent être que: 6
11 12 28
40.
d) FONCTION
"ch"
Fonction calculant la probabilité de chaque
nb fourni par "cg":
Le nombre le plus probable est 11 ans (45.5 %)
le moins
probable est 40 ans ( 3.7 %)
5.
ÚÈÒÁÚÙÞÈ
La fonction "cf" permet de
calculer le plus petit nb d'années après lequel sera obtenu un
calendrier "équivalent" à celui de l'année a , quelle que soit
la valeur de a:
/cf¨1897+¼4
… 400 800 1200 (1)
Ainsi, selon "cg", le délai ÁÕÚÈÛ 1
ÁÓÓÈÈ ÙÞÈÐÃÔÓÙÞÈ pour obtenir un calendrier "équivalent" est de 6 ans
minimum et de 40 ans maximum.
Par contre, selon (1), le délai ÃÔÒÒÞÓ Á
ÝÔÞÝÈÛ ÐÈÛ ÁÓÓÈÈÛ pour obtenir un
calendrier "équivalent" est de 400 ans minimum. On vérifie que:
400 ans = (400×365)+100-3
= 146097 jours = 0 mod 7 jours = 20871 semaines, 1ère fois ou l'on obtient mème
bissextilité et 1 nb entier de semaines.
’ r„bi
v
[1] ©1
bi v: biSSEXTILITE DES ANNEES DE LA SUITE v
[2] r„(0=4|v)+(0=400|v)-0=100|v
© VOIR INFO:§2
’
’ r„ce
a;b;i;j
[1] ©1
ce a: AVANT
1ER CAL "EQUIVALENT" : NB D'ANNEES (APRES ANNEE a)
[2] i
j„0 ©
INITIALISATIONS
[3] Á:j„1+j+1=b„bi
a+r„i„i+1 © rIEME ANNEE (BISSEXT b)
… j JRS SUPPL
[4] …0 si(0=7|j)^b=bi
a © FIN: SI NB DE SEM ENT ET
BISSEXT =
[5] …Á © RETOUR: SI COND NON
SATISFAITES
’
’ r„cf
a;b;i;j
[1] ©1
cf a: AVANT
LES CAL "EQUIVALENTS": NB D'ANNEES (APRES ANNEE a)
[2] r i j„'' 0 0 © INITIALISATIONS
[3] Á:…0 si 1500<i„i+1 ©
FIN: 1500 ANS APRES a
[4] j„j+1+1=b„bi
a+i © iEME ANNEE (BISSEXT b) … j
JRS SUPPL
[5] …Á si~(0=7|j)^b=bi
a © CONTINUE: SI NB SEM NON ENT OU
BISSEXT ¬
[6] r„r,i ª …Á © INSCRIT i, PUIS CONTINUE
’
’ r„cg;v
[1] ©1 cg : AVANT 1ER CAL "EQUIVALENT" : NB
D'ANNEES POSSIBLES
[2] r„v[“v„((v¼v)=¼½v)/v„ce¨¼100] ©
OTE REPET ET TRI † POUR 100 ANS
’
’ r„ch;n;i;v;w
[1] ©1 ch : AVANT 1ER cAL "EQUIVALENT" : NB
D'ANNEES POSSIBLES ET %
[2] v r i„(ce¨¼400)''
0 © INITIALISATIONS
[3] n„½w„cg © w=NB POSSIB;n=DIM DE w
[4] Á:…Â si n<i„i+1 © i=RG VAL DE w;FIN
SI i>n
[5] r„r,(+/v=w[i])÷½v
ª …Á © r„EFFECTIF iEME VAL / DIM DE
w
[6] Â:r„(2,n)½w,100×r © MAT (LGN 1„VAL DE w; LGN 2„%)
’
bi 1600 1900 1996
1997 1998 2000 ª ce 1995 ª cf 1997 ª cg ª ch
1 0 1 0 0 1
11
6 17 28 34 45 56 62 73 84 90
101 113 124 130 141 152 158 169 180 186 197
203 209 220 226 237 248 254
265 276 282 293 305 316 322 333 344 350
361 372 378 389 400 406 417
428 434 445 456 462 473 484 490 501 513
524 530 541 552 558 569 580
586 597 603 609 620 626 637 648 654 665
676 682 693 705 716 722 733
744 750 761 772 778 789 800 806 817 828
834 845 856 862 873 884 890
901 913 924 930 941 952 958 969 980 986
997 1003 1009 1020 1026 1037
1048 1054 1065 1076 1082 1093 1105 1116
1122 1133 1144 1150 1161 1172
1178 1189 1200 1206 1217 1228 1234
1245 1256 1262 1273 1284 1290
1301 1313 1324 1330 1341 1352 1358
1369 1380 1386 1397 1403 1409
1420 1426 1437 1448 1454 1465 1476
1482 1493
6 11 12 28 40
6
11 12 28 40
27.25 45.5
4.5 19 3.75